18.2 Analytische Geometrie

Die folgende Aufgabe stammt aus „Elemente der Mathematik, Leistungskurs Lineare Algebra / Analytische Geometrie“, Westermann Schroedel Diesterweg, Braunschweig 2004, S. 228:

Gegeben sind die Ebene E und die Geradenschar g_p mit p .

1. Gib eine Gleichung der Kugel um den Punkt P(2|1|2) an, welche die Ebene E berührt, und berechne den Berührungspunkt.
2. Zeige, dass für alle p gilt: g_p liegt in E.
3. Welche Geraden sind Tangenten der Kugel aus Teilaufgabe a) ?

18.2.1 Lösung mit Archimedes

1. • Eingabe der Ebenengleichung über „Typische Aufgaben - Ebene - Koordinatenform“. Hierfür muss man natürlich wissen, dass die gegebene Form der Koordinatenform x + 2y + 2z = 18 entspricht.
   • Eingabe des Punktes durch Doppelrechtsklick, anschließend Rechtsklick auf den Punkt und Eingabe der Koordinaten
   • Fällen des Lotes von P auf E, Benennen des Lotfußpunktes mit L.
   • Messen des Abstandes von P zum Lotfußpunkt, z.B. über Makros - Abstände - Punkt Punkt.
   • Einzeichnen der Kugel durch Markieren von P und L.

   Die Kugel hat also die Gleichung ² = ².

   

2. Die Aussage kann mit Archimedes natürlich nur überprüft, aber nicht bewiesen werden.
   • Erzeuge einen Schieberegler mit Extras - Schieberegler, nenne ihn z.B. „pp“ (denn P ist schon vergeben, es darf kein zweites Objekt mit diesem Namen geben, auch wenn er klein statt groß geschrieben wird).
   • Gib die Geradengleichung unter „typische Aufgaben - Gerade in Parameterform“ mit dem Parameter pp so ein, wie sie in der Aufgabenstellung steht, ersetze dabei lediglich „p“ durch „pp“. Markiere dabei die Einstellungsbox „Ausdruck enthält Terme“.
   • Wenn man nun am Schieberegler den Parameter p variiert, so sieht man, dass sich die Gerade immer auf E bewegt.
3. Hier kann man z.B. durch Probieren feststellen, dass der gesuchte Parameter 2 ist, oder die Gerade einfach konstruieren (nach dem Parameter ist ja nicht gefragt) und die Form dann durch Rechtsklick - Beschreibung ablesen.